Поэто ] уо^ при обобщении предложения I будем требовать « чтобы отношение В/Л входило в класс J?.

Исходя из аналогичных соображений, при обобщении ния И будем требовать, чтобы отношение^?/Г принадлежало классу 9 тех (функций И8 j?, которое регулярны и неотрицательны на тельной полуоси.

При тех или иных предположениях о росте целой функции/r'z) близкие задачи решались рядом авторов [I - 4] (см. также [5]). В обобщение предложения I ставилась задача о представлении неотри« цательной на (~«^, <^; функции/(>; в виде

J ( z ) '^ h (фи), (3)

где h(z)^ целая функция, растущая "вдвое медленнее", чем J (z), и Н9 имеющая корней 9 нижней полуплоскости. При выполнении для ве- щеот»еиншс^/'|)й 1(^1') уоловия Ä/^i Л ммеем Jm(B/fl)<0 при Jmz<0, вследствие чего уравнение в//9*/, » iMiOTe о ним и ^кция h(z)- n(z)^i В (z) не имеет ко|»!ей ь нижней аолуялоокости,-!»« что при этом условий представление (I) одаовременно 䧧т ризацию (3). Обратное, однакО| неверное из того, 4fO äfi)*^fz) * uâ(z) не имеет корней в нижней полуплоскости, вообще говоря, не следует, чтоб/й {MVi-B/AUM f3].

Таким образом, здесь предложения t и П при более teoficMX овявях, нахладмваешх на функции Й(ж)^ B(z) (ооответотвенио V(z), d(z)), обобщаются без каких^-либо ограничений на рост функции f(z) (теоремы 1 и 3)* Эти связи 911ВИоалентны тому, 44!Qlfi(i)/ffti)l4f при Jmt ь о. Впрочем, для установления теоремы 1 ootâdMoo^ не** много добавить к ToiQr, что было и$вестно« В частности, добТАточ» ность условия (9) в теореме I йоду^ена иным путем i книге Л« д# Бранжа t6J, В дополнение к теоремам I и 3 здесь уотанамишаштоя форцулы, Позволяющие находить все ioiMotHMi три фуниций /lahBdh соответственно C(i),ß(z), подчиняющиесй указанным йштт ш даюцие представление (I)| ооответотвинио (3) (теореш 2 и 4)« Отм§тШ| что потребность i щ^ш ^уш^пт »оенмиха при решении одной об« ратной задачи Hi теории onixfральшт функций етруш! {7] »

Из предложения П для шюгочленА/Г*!^ ôfeneKH !fi р пояохш« тельного ъ(-^,а] н[Ь^^ ), чутем преобразования

получается

ррадоЖЕНИЕ Ш, Всякий многочлен/^7), положительный ш^-^^о] |и[6,в*.\, допускает представление

3'iK , h\(^ 41