über die Theorie der Zahlen.

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Wir nennen г die eine der Wurzeln der Congruenz F(x) = 0, die wir als vom v^en Grade voraussetzen.

Wir betrachten den allgemeinen Ausdruck

A ) а Ч- aj 4- ад^ H-------h а^_^г~^,

in welchem а, a^, a^? • • • > ö'^-i ganze Zahlen vorstellen. Giebt man diesen Zahlen sämtliche Werte, so nimmt der Ausdruck (A) p* Werte an, welche* wie ich zeigen werde, dieselben Eigenschaften besitzen, wie die natürlichen Zahlen in der Theorie der Potenzreste.

Wir nehmen von den Ausdrücken (A) nur die pi* — 1 Werte, in denen a, (^1, öTg, ..., ö5^_i nicht sämtlich Null sind; einer dieser Ausdrücke sei a.

Erhebt man а nach und nach auf die zweite, dritte, ... Potenz, so erhält man eine Eeihe von Grössen von derselben Form (da sich jede Function von г auf den v — Iten Grad reducieren lässt). Mithin muss man haben a''=l, wo n eine gewisse Zahl ist; es sei n die kleinste Zahl von der Beschaffenheit, dass man a**= 1 hat. Dann wird man einen Complex von n unter einander ganz verschiedenen Ausdrücken erhalten:

1 , a, a2, аЗ, ..., a'^-^

Multiplicieren wir diese n Grössen mit einem andern Ausdruck p von derselben Form, so werden wir noch eine neue Gruppe von Grössen erhalten, die von den ersten und unter einander sämtlich verschieden sind. Sind die Grössen (A) noch nicht erschöpft, so multipliciere man ferner die Potenzen von а mit einem neuen Ausdruck у imd so fort. Man sieht daher, dass die Zahl n notwendig in der Gesamtzahl der Grössen (A) aufgehen wird, und da diese Zahl gleich У — 1 ist, so sieht man, dass n ein Teiler sein wird von p* — 1. Hieraus folgt ferner, dass man hat :

^P —1 -__ ;[ Q^ßj. vielmehr a^ = a.

Sodann beweist man, ganz ebenso wie in der Theorie der Zahlen, dass es primitive Wurzeln а giebt, für welche man genau pi* — l =n hat und die infolge dessen durch Erhebung zu den Potenzen die ganze Eeihe der übrigen Wurzeln hervorbringen.

Und irgend eine dieser primitiven Wurzeln wird nur von einer Congruenz vten Grades abhängen, einer irreductiblen Congruenz, denn sonst würde es die Gleichung in i nicht mehr sein, da die Wurzeln der Congruenz in г sämtlich Potenzen der primitiven Wurzel sind.

Man erkennt hieraus die bemerkenswerte Folgerung, dass sämtliche algebraischen Grössen, welche sich in der Theorie darbieten können, Wurzeln von Gleichungen von der Form sind:

Dieser Satz, algebraisch ausgesprochen, lautet folgendermassen: