§ 121. Linienflächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind. 231

tionshyperboloid , dessen Meridianhyperbel die Halbaxen a und Ъ hat, wo a = fccotg(o, b==Jc ist, wie man leicht einsieht*). Also: Die einzigen auf Rotationsflächen abwickelbaren Linienflächen sind die Biegungsflächen der Minimal-Schraubenregelfläche und des einschaligen Rotationshyperboloids.

Die ganze Klasse der Flächen der ersten Art ist bereits in § 119 als diejenige charakterisiert, welche die von den Binormalen der Curven constanter Torsion gebildeten 'Flächen umfasst.

Für die Flächen der zweiten Art giebt es einen eleganten, von Laguerre herrührenden Satz, zu dem wir in der folgenden Weise gelangen: Wir setzen in (17):

Jcv 7 ,

- . - - - - - - - = V. , It — IbV COtSf Ш = IL

sm Ш ^ ^ Ol

und erhalten für das Quadrat des Linienelements der in Rede den Fläche den Ausdruck:

^ ,2-------1- 1 ) dv^\

Durch Vergleichen mit den ursprünglichen Bezeichnungen (S. 218) haben wir dann:

_ -7,*- sin (O -XT r\

G ) = d', M=--r^, N=0. Setzen wir diese Werte in (15) ein und beachten wir dabei, dass

б gleich -~ ist, so erhalten wir:

, ^ „s cos (Û , sin CO sin œ

( 18 ) --7" + -^- = "^^''

woraus der Satz folgt (vgl. S. 32):

Die Curven, in die der Kehlkreis des einschaligen tionshyperboloids bei einer Deformation der Fläche, bei der die Erzeugenden Gerade bleiben, verbogen wird, sind Ber- trand'sche Curven.

Hieraus folgt eine Bestätigung der vorhin erwähnten Eigenschaft, dass das vorstehende Quadrat des Linienelements zum einschaligen Rotationshyperboloid gehört. In der That, wenn die Strictionslinie

eben wird (§ 120), so ist -^ gleich Null und nach (18)

Q = 'k cotgcj.

Die Strictionslinie wird also ein Kreis mit dem Radius /vcotgoj, und die Fläche ist offenbar ein einschaliges Rotationshyperboloid, das sen Kreis zum Kehlkreis hat.

* ) Den directen Nachweis überlassen wir dem Leser.