472 ' Kugeloberfläche und Kugel. — Schnitte zweier und dreier Kugeln. [§§ 101.102

С sei das Centrum der Kugel, 0 der gegebene Punkt und 00 daher der durch den gegebenen Punkt gehende Durchmesser. Man betrachte eine durch diesen Durchmesser ^hende beliebige Ebene, welche die Oberfläche in einem Hauptkreis schneidet, an welchen man von 0 aus zwei bezüglich des messers CO symmetrische (Zus. Satz III, § 59) Tangenten ziehen kann (Satz IV, § 60). liegen wir durch CO eine andre Ebene, so erhalten wir in derselben mit demselben Centrum eine der ersten identische Peripherie (Zus. I, Satz I, § 57). Mithin sind die beiden Tangenten an diese Peripherie vom Punkt 0 bis zu ihren Berührungspunkten den ersten beiden gleich und machen selben Winkel mit dem Durchmesser CO, Da man auf diese Weise alle genten von 0 an die Kugel erhält, so ist damit der Satz bewiesen (Satz II, § 9&).

Zus , I. Die Berührungspunkte der von einem Funkt an die Kugel gesogenen Tangenten liegen auf einem Kreisumfang, dessen Ebene senkrecht auf der Axe des Berührungskegels mit der Spitze in dem gegebenen Funkt steht

Denn die Ebene der Berührungspunkte dreier Tangenten steht senkrecht auf dem Durchmesser CO, der Axe des Kegels (Zus. III, Satz П, § 88) und enthält alle Berührungspunkte der genanuten Tangenten (Zus. VII, Satz I, § 88).

Def IX. Diese Peripherie heisst Berührungs- oder Tangentialourve des Kegels mit der Kugel.

Zus . IL Die Tangentialebenen eines eine Kugel berührenden Kegels berühren diese Kugel in den Funkten der Tangentialcmrve (Satz IV).

Zus . HL Durch eine Grade kann man 0wei die Kugel berührende Ebenen legen, welche mit der durch die gegebene Grade gehenden Diametralebene denselben Winkel machen (Satz X, § 99).

Bern . III. Die Eigenschaften der Kugeloberfläche sind also, wie man sieht, dieselben wie die Eigenschaften der vollständigen Ebene, welche wir ohne das Gebiet der Ebene zu verlassen und ohne die Kugel zu benutzen nur mit Hülfe unsrer abstracten Hypothesen behandelt haben (Kap. П, Buch П). Zwei Punkte auf der Kugel bestimmen einen kreis, dessen Ebene durch das Centrum geht und bestimmen diesen Kreis nicht, wenn sie entgegengesetzt sind.

Die Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreikants lassen sich ohne Weiteres in Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln der auf der Kugel durch Bogen von Hauptkreisen gebildeten Dreiecke umsetzen.

Die Figuren, welche in dem EucUd'schen Eaum von drei Dimensionen die vollständige Ebene mit allen ihren Eigenschaften darstellen, sind also die Kugel und der Strahlenstem (Def. П, § 82). Die in Bezug auf die EucUd'aohe Einheit betrachtete Ebene im grossen oder der Gradenstem stellt die zweite Biemaim'sche Form vor (Bem. II, § 30).

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Sclmitte zweier und dreier Engeln.

§ 102. Def. L Wenn zwei Kugeln dieselbe Berührungsebene in einem gemeinschaftlichen Pimkt A haben und beide auf derselben Seite der Ebene liegen, so sagt man, sie berührten sich von Lnnen; liegen sie auf gesetzten Seiten, so berühren sie sich von Aussen.

Bem . L In dem ersten Fall ist eine der beiden Kugeln, nämlich diejenige mit dem kleineren Badius, in der andern eathalten.