536

Winkel .

[ §139

Verbindung mit andern Keilen von Halbräumen substituirt, so heisst er der Keilwinkel seiner Seiten,^)

Sind «3 und /3g die Seiten eines Keils, so bezeichnen wir ihn mit dem Symbol («у^з).

Bef , HL Wie die beiden Halbebenen a^o^y b^^ zwei Keile von drei mensionen in dem Raum ж^^^ bestimmen, welche zusammen genommen den vollständigen Raum ausmachen, wenn man den Punkt als Element betrachtet, so bestimmen zwei Halbräume eines Büschels zwei Theile des Raums /S^ um die Axe des Büschels, wobei ebenfalls der Punkt als Element angesehen wird und diese Theile heissen auch Keile^ Auch in diesem Fall verstehen wir unter dem Keil zweier Halbräume den Theil des Raums, welcher ihrem Keil in dem Büschel entspricht.

Bern . I. Die der Bern. I, § 91 entsprechende Bemerkung gilt auch hier.

Satz L Ein Keil zweier Halbräume wird von den Halbräumen gebildet, welche die Axe des Keils mit den Strahlen eines jeden Winkels verbinden, dessen Schenkel bezüglich auf den Seiten des Keils liegen.

Dies folgt aus der analogen Eigenschaft des Keils im Unendlichgrossen (Bem. П, § 112).

Satz H Ein Keil zweier Halbräume wird von parallelen Ebenen oder Bäumen in gleichen Winkeln oder Keilen geschnitten.

Der Beweis für die Ebenen wird geführt wie bei Satz П, § 91. Bei den Räumen beachte man, dass zwei parallele Räume die Halbräume in parallelen Halbebenen schneiden, welche in diesem Fall denselben Winkel bilden.

Zus . Zwei beliebige Halbräume werden von parallelen Ebenen und Bäumen in Strahlen und Ebenen geschnitten, welche denselben Winkel bilden.

Denn sie werden in parallelen Strahlen oder Halbebenen geschnitten. Die Strahlen in demselben Halbraum haben dieselbe Richtung und die Halbebenen haben dieselbe Halbgrade im TJnendlichgrossen.

Satz HL Gleichen Keilen in der Ebene im Unendlichgrossen entsprechen gleiche Keile der Büschel von Halbräumen, deren Axen durch die Axe der nen Keile gehen.

Wird wie Satz 1П, § 91 bewiesen.

Zus . L. Zwei ungleiche Keile («2001^2x) > («20./^г'оо) bestimmen um zwei durch ihre Axen gehende Ebenen A^, Ä^ ungleiche Keile und zwar A.^ {cc^^ßi^) > > A2' {cc/^ß^'^).

Wird wie Zus. П, § 91 bewiesen.

Zus . LL. Zwei Keile von Halbräumen mit bezüglich parallelen Seiten sind gleich oder Supplementkeile.

Satz IV. Zwei gleiche Keile von HaJbräumen bestimmen im Unendlichgrossen gUicJie Keüe.

Wird wie Satz IV, § 91 bewiesen.

1 ) Der Keilwinkel zweier Halbräume ist die intensive Grösse des von ihnen deten Keils (Einl. а und c, § 111).