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Einleitung .

[ vergl 410, (Ä)], denn alle die Normalen P'N' in Punkten dieser Linien liegen in ein und derselben, allen gemeinsamen imaginären normal Ebne (Seite 295), und es giebt also, wie wir vorher fanden, drei Krümmungslinien durch einen Kugelpunkt.

( f ) . Diese geometrischen Resultate lassen sich auf fachen Wegen nach der Rechnung mit Quaternionen herleiten. Zum Beispiel, eine Form der Glleichung der Krümmungslinien auf einer quadratischen Fläche wird, wie man sieht (Seite 295), in einem Kugelpunkt eine Identität {v\\X)\ während das rential jener Grleichung in zwei Faktoren zerfällt, von denen der eine die Tangente zum Hauptschnitt darstellt, während der andre, Skd^g = 0, die Richtungen der beiden Erzeugenden angiebt.

( g ) . Die Gleichung des Kegels (C), welche sich schon als ein gewisser Ort von Sehnen {b) erwiesen hat, erlaubt viele quaternion Transformationen. Zum Beispiel (man sehe Seite 292), sie kann so geschrieben werden,

SctQAo . SaçAQ __ pw, (V\

'So^Jq " ^ Sa'Ag ~' ^' ^ 1^

Ç ist der Vector der Spitze P, und q + Jq derjenige irgend eines andern Punktes P' des Kegels, während cc, a noch, wie in 407, (a), zwei reelle fokal Linien sind, deren Längen hier willkürlich, doch deren Richtungen bei einem ganzen fokalen System, wie vorher, konstant sind.

metrie , doch sie erkennen es an und wenden es an, in der folgenden sehr fachen Form: dass wenn ein nichtversehwindender Vector nach dem Kreis im Unendlichen hingerichtet ist, er ein imaginärer Werth des Symbols OV2 ist (vergl. Seite 409, 410, 681 des ersten Bandes, und Seite 272, 287 des zweiten Bandes dieser Elemente), und umgekehrt, dass wenn dies letzte Symbol einen Vector darstellt, welcher nicht null ist, der so bezeichnete Vector eine imaginäre Linie ist, welche jenen Kreis trifft. Es mag hier bemerkt werden, dass dies der Fall ist bei der reciproken Polare jeder Sehne einer quadratischen Fläche, welche irgend zwei Kugelpunkte verbindet, die nicht in einer ebne liegen; und dass somit die quadratische Gleichung (XXI. auf Seite 284), von welcher die beiden Eichtungen [410, (c)] gewöhnlich hergeleitet werden können, eine identische wird in jedem reellen oder imaginären Kugelpunkt; und so sollte es sein, damit üebereinstimmung herrscht mit der vorhergehenden Theorie der drei Linien durch jenen Kugelpunkt. Und als weitre Erläutrung des Zusammenfallens der Eichtungen der Krümmungs- Hnien in ii^end einem Ptmkt P' einer Kugelpunktserzeuzenden, welcher nicht KugeîpuDÉit ist, mag hinzugefügt werden, dass der Kegel der Sehnen (C), in 411, (5), wie man findet, die quadratische Fläche in jener genden berührt, wenn seine Spitze irgend ein solcher Punkt P' ist.