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m , 80—81. Die Flächen zweiten Grades.

stimmen einen Punkt F', drei andere einen zweiten Punkt G', und ihre Verbindungslinie F' G' ist die g\ Denn die drei Ebenenbüschel von 2' schneiden auf F'G' drei unter einander projektive reihen ein, welche alle entsprechenden Punkte gemein haben, weil es für drei solche gilt, nämlich für F\ G' und den Punkt der Ebene A'JS'C, Dann entspricht auch jeder Ebene von 2? eine solche von I]\ jedem Strahlen- und Ebenenbüschel von 27 ein damit jektives ebensolches Gebilde von 27', da beide Gebilde projektive Punktreihen projiciren, einem ebenen Systeme von 27 ein damit kollineares von Z"', da man vier Punkte des einen stets mit den vier entsprechenden des anderen in Perspektive Lage bringen kann, worauf wegen der Projektivität entsprechender Strahlenbüschel jeder Punkt des einen ebenen Systems sich in den entsprechenden des anderen projicirt (I, 310, 309).

Zwei hollineare räumliche Systeme 27, 27' Jcann man im meinen nicht unter einander, wohl aber auf unendlich viele Arten jedes mit ein und demselben dritten Systeme in Perspektive Lage Ъггщеп.

Denn sind 27, 2?' durch je fünf Punkte ABCDE, ÄB'GB'E' gegeben, welche sich paarweise entsprechen, und ist Q der punkt der Geraden BE mit der Ebene ABC, und Q' von B'E mit A'B'C*, so kann man 27 und 27' so legen, daß sich die ebenen Systeme ABCQ, A'B'C'Q' in perspektiver Lage befinden, wobei 0 der Mittelpunkt und s die Axe der KoUineation sei. Bei der Drehung von 27' um s bleiben ABCQ und A'B'C'Q' in tiver Lage, aber es gibt dabei im allgemeinen keine Lage, in cher auch В und B', oder E und E' perspektiv liegen, oder in welcher OB' durch В oder OE' durch E geht. Denn bei der Drehung beschreiben 0 und D' zwei parallele Kreise (I, 304), in welchen diejenigen Halbmesser parallel sind, welche nach den selben Lage von 27' zugehörigen Punkten 0 und D' laufen; daher beschreibt eine durch solche Punkte bestimmte Gerade OB' einen schiefen Ereiskegel, auf welchem der willkürliche Punkt В im gemeinen nicht liegt; das gleiche gilt für E.

Zieht man aber in einer dieser Lagen von 27' in der Ebene OQBE, welche auch Q' enthält, eine Gerade Q'B"E"^ so daß OBB", OEE" Gerade sind, so ist mit U" = A'B'СB"E" das E = ABCBE aus dem Kollineationsmittelpunkte 0, und das 2'=A'B'C'B'E' aus dem Schnittpunkte von B'B" und E'E", welche Linien sich treffen, da sie in der Ebene Ç'B'B" liegen, in Perspektive. Also ist 27" eines jener dritten Systeme.

81 . Wir können nun den Satz von Nr. 79 verallgemeinern und sagen: