Differentialgleichung der Charakteristik. 221. 285

( xdx _, ydy , zdz\^

und sie gehört einer Charakteristik jener Familie von Flächen gleichfalls an. Denken wir dann die Rückkehrkante der der Fläche

a^ — Ä;2 ^ 52 _ ^2 -r ^2 _ ^2

umgeschriebenen abwickelbaren Fläche auf der Fläche des sprünglichen Ellipsoids, so tritt die Gleichung

( a^ - k' ) ( ydz - - zdyy^ ( b^ - k' ) ( 0dx - xdzy + ( c'' - 7c^ ) ( xdy - ydxy = {b'-k'){c'-]c'')dx^ + (c'-h')(a'-h')dy' + ia'--k^^ hinzu, und man erhält

( xdy — ydxy + {zdx — xdzy + (xdy — уахУ = (b^+c^-1c^)dx^ + (c^ + a^-Jc^)dy^ + (a^ + b^—k^)dz'. Da aber die beiden confocalen Flächen

î ! _L ^ -j_ îl _ 1 __?!_ i_ y' I ^' = 1

^2 -Г ^2 T ^2 -L 5 a^ — ^2 -r ^2 _ jfc2 T ^2 _ ^2

als die beiden Mäntel einer Fläche betrachtet werden können, welche der Ort der Centra für eine andere Fläche ist,^^^) so gehört die letztere Gleichung einer geodätischen Linie des soids an. (Vergl. Art. 51 und Art. 152 den Satz von Chasles über die Tangenten einer geodätischen Linie.)

Hiermit hängt der Satz von M. Roberts zusammen: Wenn man die Tangenten einer geodätischen Linie auf einer centrischen Fläche zweiter Ordnung bis zu ihren respectiven punkten mit den zu ihnen normalen Tangentenebenen derselben Fläche verlängert, so erhält man Punkte einer mit ihr concen- trischen Kugel; für alle geodätischen Linien, welche dieselbe Krümmungslinie berühren, bleibt sie die nämliche.

221 . Die Differentialgleichung der Charakteristik kann in derselben Weise gefunden werden, wenn die gegebene Gleichung von der zweiten Ordnung ist.^^)

Wir können in diesem Falle zwei auf einander folgende chen denken, welche der gegebenen Differentialgleichung genügen und einander längs ihrer Durchschnittslinie berühren. Wenn wir z. B. eine Oberfläche haben, die durch die Bewegung einer Curve erzeugt wird, während dieselbe zwei feste Directrixcurven stets schneidet, so denken wir eine neue durch dieselbe Curve er-