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Sechster Vortrag.

Wenn jede durch die Hauptaxe a gelegte Ebene eine metrieebene ist, so hat jede Schnittcurve des Paraboloides, deren Ebene zu a senkrecht steht, einen rechtwinkligen büschel, wie vorhin bemerkt wurde, und ist folglich ein Kreis (Г. Abth. Seite 90). Das Paraboloid ist in diesem b'alle ein tations - Paraboloid.

Die Durchmesser eines Ellipsoides oder Hyperboloides stehen im Allgemeinen nicht senkrecht zu den ihnen conjugirten messerebenen. Denn wenn dieses allgemein stattfindet, wenn also jeder Durchmesser eine Hauptaxe der Fläche ist, so ist die Fläche eine Kugelfläche. In diesem b'alle nämlich ist jeder Durcli- messerbüschel ein rechtwinkliger, und folglich die Curve, in welcher seine Ebene die Fläche schneidet, ein Kreis; weshalb auch alle Punkte dieser Fläche gleichen Abstand vom Mittelpunkte haben. — Im Allgemeinen steht auf einem beliebigen Durchmesser d eines Ellipsoides oder Hyperboloides nur ein einziger conjugirter messer d^ senkrecht, welcher sowohl in der zu d conjugirten Durchmesserebene o, als auch in der zu d senkrechten messerebene \ liegt.

Beschreibt der Durchmesser d um den Mittelpunkt der Fläche einen Strahlenbüschel 7, so beschreibt die ihm conjugirte Durcli- messerebene Ь einen Ebenenbüschel, welcher zum Strahlenbüschel Y projectivisch (Seite 39) und dessen Axe g der Ebene ^ conjugirt ist. Zugleich beschreibt die zu d normale Durchmesserebene Oj einen zweiten Ebenenbüschel, dessen Axe tj^ zur Ebene 7 normal ist; und auch dieser Ebenenbüschel gx ist zum Strahlenbüschel y projectivisch, weil je zwei Strahlen des letzteren denselben Winkel mit einander bilden, wie die zu ihnen normalen Ebenen des er- steren. Die Ebenenbüschel g und g^ sind folglich auch zu einander projectivisch, und erzeugen im Allgemeinen eine Kegelfläche II. nung; oder:

^^Beschreibt ein Durchmesser d des Ellipsoides oder des „Hyperboloides um den Mittelpunkt einen Strahlenbüschel 7, ;,so beschreibt zugleich der Durchmesser c?i, welcher zu d „conjugirt und normal ist, eine Kegelfläche II. Ordnung um ;^den Mittelpunkt.^^ Eine Ausnahme von diesem Satze findet nur dann Statt, wenn der Strahlenbüschel 7 eine Hauptaxe der Fläche enthält, weil dann die Ebenenbüschel g und g^ die der Hauptaxe conjugirte messerebene entsprechend gemein haben, also perspectivisch liegen.